Till innehåll på sidan

Tame representations in Topological Data Analysis: decompositions, invariants and metrics

Tid: To 2023-06-15 kl 14.00

Plats: F3, Lindstedtsvägen 26 & 28, Stockholm

Språk: Engelska

Ämnesområde: Matematik

Respondent: Francesca Tombari , Matematik (Inst.)

Opponent: Peter Bubenik, University of Florida

Handledare: Professor Wojciech Chachólski, Matematik (Avd.); Professor Patrizio Frosini, University of Bologna

Exportera till kalender

QC 2023-05-25

Abstract

Denna avhandling är en sammanställning av resultat inom tillämpad topologi.Utgångspunkten för vår studie är objekt som presenterar en möjligen komplex inneboende geometri.Huvudmålet är då att förenkla den geometriska informationen som kännetecknar dessa objekt, utan att trivialisera den.Således, förutom att vara enkel och kompakt, bör den valda representationen bibehålla rikedomen av egenskaper hos det ursprungliga objektet.I Topologisk Data Analys (TDA) kan denna förenklingsprocess göras genom att tilldela varje geometriskt objekt en funktor indexerad av en lämplig pomängd.Det viktigaste med dessa funktorer är att de är diskretiserbara under lämpliga antaganden om det geometriska objektet.Att vara diskretiserbar i detta sammanhang innebär att de kan ändligt kodas genom en finit pomängd-mappning till den ursprungliga indexeringspomängden.Det är då möjligt att ta ytterligare steg genom att beräkna invarianter av de representationer som erhålls.Önskvärda egenskaper för sådana invarianter är att vara effektivt beräkningsbara ochlämplig att beskriva metriker på.Att jämföra invarianterna ger då en bra approximation av jämföra de underliggande geometriska objekten, som är vårt primära intresse.

Artikel A studerar dekompositioner av simpliciala komplex som induceras av täckningar av deras hörn.Dessa dekompositioner är inspirerade av dataanalys där datan vanligtvis ges av ett metriskt utrymme, till vilket ett filtrerat simplicialt komplex kan associeras.Vi studerar hur homotopitypen för ett nedbrutet komplex skiljer sig från det initiala, både för generiska och för metriska simpliciala komplex.

En annan modell för att utföra dataanalys ur ett topologiskt perspektiv ges av teorin om gruppekvivarianta icke-expansiva operatorer.I Paper B visar vi att sådana operatörer utgör ett komplementärt verktyg till ihållande homologi i samband med TDA.Vi föreslår en kategorisk struktur som inkluderar båda modellerna och sedan studerar vi funktorialiteten av persistens.

I Paper C undersöker vi lämpliga indexeringspositioner för tama funktorer.Fokus ligger på övre semigitter, som är särskilt väl lämpade för detta ändamål.En annan klass av pomängder som har liknande egenskaper som övre semigitter är den av realisationer, som vi introducerar här.Deras likheter är både kombinatoriska, särskilt när det gäller en dimensionsuppfattning som vi introducerar, och relaterade till homologisk algebra för de tama funktorer som indexeras av dem.I Paper C föreslår vi också en metod baserad på Koszul-komplex för att beräkna homologiska invarianter för tama funktorer indexerade antingen med övre semigitter eller realisationer.Denna fråga utökas sedan i Paper D, där vi studerar homologiska invarianter i förhållande till en vald klass av projektiva objekt, möjligen olika de vanliga.Vi föreslår ett ramverk för att översätta från den relativa till standardfallet, där Koszul-komplex är tillgängliga för att utföra beräkningarna.Vi identifierar också ett hinder för att en sådan översättning ska vara möjlig och karakteriserar den för flera exempel på relativa projektiv.

I Paper E studerar vi de geometriska egenskaperna hos en väletablerad metrik i 2-parameter ihållande homologi, kallad matchningsavståndet.Motiverade av behovet av effektivitet vid beräkningen av sådan metrik studerar vi dess geometriska egenskaper.I synnerhet visar vi hur man drar fördel av den differentiella geometriska strukturen hos de underliggande objekten för att förstå metrikens egenskaper.

I Paper F studerar vi kategorin av diskretiserbara funktioner med värden i icke-negativa kedjekomplex.I den här kategorin är vi särskilt intresserade av kofibranter odelbara, som kräver en modellstruktur för att definieras.Sålunda identifierar vi först en ny klass av pomängder som indexerar de funktioner för vilka det finns en projektiv modellstruktur och ger en karakterisering av kofibranter som är odelbara där.Om indexeringsposen inte är av denna typ,vi skisserar en teknik för att konstruera godtyckligt komplicerade kofibranter odelbara.

urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-327362