Algebraic invariants for filtered data and their computation
Tid: Fr 2026-05-29 kl 09.00
Plats: FB42, Roslagstullsbacken 21, Stockholm
Språk: Engelska
Ämnesområde: Tillämpad matematik och beräkningsmatematik
Respondent: Isaac Ren , Algebra, kombinatorik och topologi
Opponent: Ulrich Bauer,
Handledare: Martina Scolamiero, Matematik (Avd.), Algebra, kombinatorik och topologi, Digital futures; Wojciech Chachólski, Matematik (Avd.), Algebra, kombinatorik och topologi
Abstract
Denna avhandling utforskar konstruktionen och beräkningen av algebraiska invarianter för filtrerade topologiska rum. Dessa invarianter härstammar från det klassiska algebraiska objektet, homologi, som är invariant under homeomorfismer, d.v.s. kontinuerliga transformationer av topologiska rum med kontinuerliga inverser. Filtrerade rum är emellertid rikare strukturer som ofta kodar geometrisk information, och därför är våra algebraiska konstruktioner invarianta med avseende på isometrier och skalningsoperationer. Vi är också intresserade av stabiliteten hos invarianter med avseende på små störningar i indatan, inklusive tillägg av brus.
Givet ett rum med en pomängdvärderad filtreringsfunktion, bildar homologin (med fältkoefficienter) hos delnivåmängder en funktor från pomängden till vektorrummen: denna funktor kallas en persistensmodul och är ett centralt objekt inom området topologisk dataanalys (TDA). I Artikel A utvecklar vi teorin om relativ homologisk algebra för persistensmoduler, inklusive användningen av lokala Koszulkomplex som ett verktyg för att beräkna relativa Bettidiagram, vilka är en numerisk invariant av minimala relativa projektiva upplösningar. I Artiklarna B och C studerar vi fallet där indexeringspomängden är en total ordning. I detta fall sönderfaller persistensmoduler som summor av enkla streckmoduler, och vi introducerar begreppet streck-till-streck-morfismer mellan persistensmoduler som en algebraisk version av streckmatchningar. Dessutom utvecklar vi algoritmer för att beräkna matchningar inducerade av morfismer, som passerar genom streck-till-streck-morfismer.
Artiklar D och E generaliserar en mer klassisk invariant, de kritiska punkterna för en Morsefunktion, till metrisk algebraisk geometri, ett framväxande område som kombinerar (eller återförenar) algebraisk och differentialgeometri. Mer specifikt utvecklar vi en Morseteori för avståndsfunktioner från en algebraisk varietet, begränsad till en algebraisk varietet, och visar att en sådan avståndsfunktion generellt är Morse. Vi definierar både geometriska och algebraiska begrepp för kritiska punkter och anger övre gränser för deras antal. I denna mening konstruerar och beräknar vi invarianter för filtrerade algebraiska rum.