Numerical methods for parameterized linear systems
Tid: Ti 2024-05-07 kl 14.00
Plats: F3 (Flodis), Lindstedtsvägen 26 & 28, Stockholm
Språk: Engelska
Ämnesområde: Tillämpad matematik och beräkningsmatematik, Numerisk analys
Respondent: Siobhán Correnty , Numerisk analys, NA, SeRC - Swedish e-Science Research Centre
Opponent: Prof. Andrew J. Wathen, University of Oxford
Handledare: Elias Jarlebring, Numerisk analys, NA, SeRC - Swedish e-Science Research Centre; Johan Karlsson, Optimeringslära och systemteori, Strategiskt centrum för industriell och tillämpad matematik, CIAM; Kirk M. Soodhalter, Trinity College Dublin
QC 2024-04-08
Abstract
Att lösa linjära ekvationssystem är ett grundläggande tekniskt problem. Dessutom uppstår tillämpningar som involverar lösningen av linjära system inom samhällsvetenskap och ekonomi. Specifikt utforskar denna avhandling lösningar till linjära system där systemmatrisen beror olinjärt på en parameter. Parametern kan vara en skalär eller en vektor, och en förändring i parametern resulterar i en förändring i lösningen. En sådant scenario uppstår vid studiet av partiella differentialekvationer och tidsfördröjningssystem, och vi är intresserade av att erhålla lösningar som motsvarar många värden på parametern samtidigt. De metoder som utvecklats i denna avhandling kan också användas för att lösa problem med parameteruppskattning. Ytterligare har programvara utvecklats och är tillgänglig online.
Denna avhandling består av fyra artiklar och presenterar både algoritmer och teoretisk analys. I artikel A behandlas en linjärisering baserad på en oändlig Taylor-serieexpansion. Specifikt är det linjäriserade systemet ett skiftat parametriserat system, och parametern är en skalär. Systemet löses med GMRES-metoden, och endast en Krylov-basmatris krävs. Konvergensanalys baseras på lösningar till ett olinjärt egenvärdesproblem och parameterns storlek. Noterbart är att algoritmen utförs i ett ändligt antal beräkningar.
Tillvägagångssättet i artikel B är baserat på ett förkonditionerat linjäriserat system löst med den inexakta GMRES-metoden. I den här kontexten innehåller linjäriseringen alla termer i en oändlig Taylor-serieexpansion, och förkonditioneringen appliceras på ett approximativt sätt med iterativa metoder. Lösningar som motsvarar många värden på den skalära parametern genereras från ett delrum, och detta görs i ett ändligt antal linjära algebraoperationer. Teoretisk analys, baserad på felet i appliceringen av förkonditioneraren och storleken på parametern, leder till en övre begränsning på residualens storlek.
Artikel C föreslår en Krylovbaserad rekursionsmetod med få termer för att lösa linjära system som är beroende av en skalär parameter. Specifikt används en Chebyshev-approximation för att konstruera en linjärisering, och det linjäriserade systemet löses med den bikonjugerade gradient-metoden. Dessutom leder förkonditionering med skifte och invertering till snabb konvergens av Krylov-metoden för många olika värden på parametern. En inexakt variant av metoden härleds och analyseras också.
I artikel D konstrueras en reducerad ordningsmodell från sampel av modellen för att lösa parametriserade linjära system. Specifikt är parametern en vektor med dimensionen 2, och samplingen utförs på ett glest rutnät med den metod som föreslås i artikel C. En tensorfaktorisering används för att bygga modellen. Tillvägagångssätt av denna typ är inte alltid framgångsrika, och det är inte känt på förhand om en tensorfaktorisering kommer att konvergera för en given uppsättning av sampel. Detta arbete presenterar ett nytt sätt att generera en ny uppsättning sampel i samma parameterrum till en låg extra kostnad. De nya lösningar kan användas om tensorfaktoriseringen misslyckas.