Quiescent Big Bang Singularities

QC 2026-10-22

Abstract

Denna avhandling ägnas åt den rigorösa matematiska studien av lösningar till Einstein's ekvationer för generell relativitet som uppvisar Big Bang-singulariteter. Vi fokuserar på stilla singulariteter. Dessa är lösningar vars asymptotik är konvergent i singularitetens riktning. Vi utgår från två perspektiv för att studera dessa. Det första är det singulära initialvärdesproblemet. Det betyder att vi börjar med att sätta ett geometriskt initialdata på singulariteten, och sedan konstruerar en motsvarande lösning. Det andra är den dynamiska formationen av singulariteter.  Det vill säga, med startpunkt i initialdata på en Cauchy-yta, letar vi villkor som garanterar att den motsvarande lösningen uppvisar Big Bang-formation. En viktig aspekt av våra resultat är att vi inte gör några antaganden om symmetri, och inte heller proximitet till fixerade bakgrundslösningar.

Papper A handlar inte direkt om Big Bang-singulariteter, utan utgjorde ett övningsområde för några av de återkommande idéerna i avhandlingen. I pappret studeras en speciell klass av linjära vågekvationssystem över kosmologiska rumtider, som kallas tysta ekvationer. Vi erhåller asymptotik för lösningen till alla ordningar, och visar att lösningarna unikt bestäms av den asymptotiska datan. Sedan tillämpar vi resultaten på Maxwells källfria ekvationer i Kasner-rumtid nära den initiala singulariteten. 

I papper B bevisar vi att Einsteins ickelinjära skalärfältsekvationer har en geometrisk singulär initialvärdesformulering. Det vill säga, givet geometrisk initialdata över en Big Bang-singularitet,  visar vi att det existerar en lösning till ekvationerna som realiserar det givna initialdatat. Dessutom visar vi att lösningen är unik inom det betraktade klassen av rumtider.

Papper C analyserar den motsatta riktningen. Vi identifierar ett generellt villkor på initialdatan för en Cauchy-yta som garanterar att den motsvarande utvecklingen har en stilla Big Bang, och att den ger upphov till geometrisk initialdata över singulariteten.

Ett problem med resultaten i papper C är att de inte kan lokaliseras i rummet på ett uppenbart sätt. I papper D löser vi detta problem genom att introducera en ny gauge för Einsteins ekvationer, som möjligjör en lokaliserad version av resultaten till papper C. Mer specifikt identifierar vi ett generellt villkor för initialdatat, som försäkrar att den motsvarande lösningen har en stilla Big Bang, i det förflutna av en punkt på den initiala hyperytan. 

Link to DiVA