Stacky Modifications and Operations in the Étale Cohomology of Number Fields

QC. 22-09-12

Abstract

Denna avhandling består av 4 artiklar. I Artikel A definierar vi stackig byggnadsdata för stackiga övertäckningar i Pardinis anda och visar en ekvivalens av (2,1)-kategorier mellan kategorin av stackiga övertäckningar och kategorin av stackig byggnadsdata. Vi visar att varje stackig övertäckning är en platt rotstack i Olsson och Borne–Vistolis mening och vi ger en intrinsisk beskrivning av den som en rotstack med hjälp av stackig byggnadsdata. När basen S är definierad över en kropp ger vi ett kriterium för när ett stackigt byggnadsdatum kommer från en ramifierad övertäckning för ett ändligt abelskt gruppschema över k. Detta generaliserar ett resultat av Biswas–Borne.

I Artikel B beräknar vi den étala kohomologiringen H*(X, Z/nZ) då X är spektrumet av ringen av heltal av en talkropp K. Som en tillämpning, ger vi ett kriterium i form av en formel för när en invariant definierad av Minhyong Kim är noll eller ej. Vi ger också exempel på två olika talkroppar vars ringar av heltal har isomorfa kohomologigrupper men olika kohomologiringstrukturer.

I Artikel C generaliserar vi resultaten i Artikel B till att innefatta fallet då X ersätts av en öppen delmängd U ⊆ X, där vi tagit bort ett ändligt antal slutna punkter ifrån X. Vi visar att då U är komplementet till två udda primtal p och q, som är kongruenta till 1 (mod 4), så kan Legendre symbolen av p över q betraktas som en kopprodukt i H*(U,Z/2Z).

I Artikel D beräknar vi formler för Masseyprodukter i étale kohomologi av ringen av heltal till en talkropp. Vi använder sedan dessa formler för att, med hjälp av en dator, hitta de första kända exemplen på kvadratiskt imaginära talkroppar vars klassgrupp har p-rang 2, för udda p, och oändligt p-klasskroppstorn. Vi beräknar också exempel som motbevisar McLemans (3, 3)-förmodan.

urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-317374