Higher rank dynamics on nilmanifolds
Tid: To 2025-05-15 kl 14.00
Plats: F3 (Flodis), Lindstedtsvägen 26 & 28, Stockholm
Språk: Engelska
Ämnesområde: Matematik
Respondent: Sven Sandfeldt , Analys, dynamik, geometri, PDE och talteori
Opponent: Professor David Fisher, Rice University, Houston, Texas, USA
Handledare: Professor Danijela Damjanović, Analys, dynamik, geometri, PDE och talteori; Associate professor Maria Saprykina, Analys, dynamik, geometri, PDE och talteori
QC 2025-04-24
Abstract
Dynamik är området inom matematik som studerar system vilka ändras över tid. Denna teori kan sedan användas för att studera allt från hur himlakroppar rör sig i solsystemet, oförutsägbarhet i väderprognoser, och självorganiserande beteende hos eldflugor till frågor inom geometri och talteori. Ett klassiskt dynamiskt system består av två delar, (i) ett fasrum som innehåller systemets alla möjliga tillstånd, (ii) och en lag som låter oss uppdatera från ett tillstånd till nästa då tid passerar. När vi ser tiden som diskret, då ger ett dynamisk system naturligt upphov till en verkan av heltalen: ett heltal n flyttar ett tillstånd x till motsvarande tillstånd efter tid n. Motiverat av frågor inom geometri, talteori och inom dynamik så är det ofta användbart att studera gruppverkan av mer exotiska grupper. En symmetri av ett klassiskt dynamiskt system är ett globalt koordinatbyte av fasrummet sådant att dynamiken inte ändras; kollektionen av alla symmetrier till systemet är systemets symmetrigrupp. Denna grupp agerar naturligt på fasrummet, så givet ett klassiskt dynamiskt system så får vi en inducerad verkan av dess symmetrigrupp. En generell filosofi är att en stor symmetrigrupp är restriktivt och i specialfall så förväntar vi oss att kunna klassificera alla system med tillräckligt många symmetrier. Detta är ett rigiditetsfenomen; den a priori svaga egenskapen att systemet har stor symmetrigrupp implicerar den till synes starka slutsatsen att systemet kan bli helt klassificerat. Den här avhandlingen består av fyra artiklar som syftar på att förstå symmetrier av vissa klasser av kaotiska dynamiska system, och den relaterade frågan om rigiditet av verkan av stora grupper.
Artikel I och II undersöker symmetrier av små störningar av en viss typ av dynamiska system, partiellt hyperboliska nilmångfalds automorfier. Huvudresultaten är en komplett klassifikation av de möjliga symmetrigrupper som kan uppstå för dessa störningar, och en klassifikation av de störningar som har en stor symmetrigrupp. Det visas att för dessa system så är egenskapen att ha många symmetrier nära relaterad med bevarande av algebraiska strukturer.
Artikel III studerar verkan av högre rangs gitter (till exempel alla inverterbara 3 gånger 3 matriser med heltals koefficienter) på en viss typ av mångfalder, torusar och Heisenberg nilmångfalder. Det visas att om dessa verkan innehåller ett element som är tillräckligt kaotiskt, karakteriserat av partiell hyperbolicitet, då måste verkan ha ett algebraiskt ursprung.
Artikel IV studerar en klass av dynamiska system i kontinuerlig tid med egenskapen att de är kohomologi fria. En förmodan säger att dessa system endast kan existera på en viss typ av fasrum, torusar. Vi bevisar att denna förmodan stämmer då fasrummet är en nilmångfald, en större klass av rum som innehåller torusar som ett specialfall.