En vandring genom statistiska algoritmer

Algoritmer finns överallt i dagens samhälle – de känner igen bilder, tolkar text, rekonstruerar datortomografibilder och analyserar finansiella data. I denna föreläsning utforskar vi hur insikter från olika områden av tillämpad matematik hjälper oss att skapa snabbare, enklare och mer exakta algoritmer.

Vi börjar med att betrakta algoritmer som används för att generera (eller simulera) data enligt en given fördelning, en process som ofta kräver många beräkningar. Här ser vi hur idéer från harmonisk analys kan användas för att simulera data i konstant tid. Dessa algoritmer har dock begränsningar i högre dimensioner, där vi istället vänder oss till energibaserade modeller. Genom att beräkna entropin hos fördelningen som dessa algoritmer genererar kan vi se hur de kan anpassas för att bättre approximera den sökta fördelningen.

Andra algoritmer används för att skatta en eller flera parametrar från data. Ett exempel är rekonstruktionsproblemet inom kryoelektronmikroskopi (kryo-EM), där målet är att skatta en eller flera 3D-modeller av biomolekyler från 2D-projektioner tagna med elektronmikroskop. På grund av mycket höga brusnivåer och att projektioner tas från okända vinklar är detta ett mycket svårt problem. Här undersöker vi hur kombinationen av harmonisk analys, sannolikhetsteori och statistik kan bidra till utvecklingen av effektiva algoritmer för olika steg i rekonstruktionsprocessen.